Đề thi cuối kì 1 Toán 8 THCS Ngô Sĩ Liên 2025-2026 có đáp án

Đề kiểm tra học kì 1 Toán 8 năm học 2025–2026 của THCS Ngô Sĩ Liên, Hà Nội, có đáp án và lời giải. Thời gian làm bài 90 phút. Phần trắc nghiệm (2,0 điểm): 8 câu nhiều lựa chọn; phần tự luận (8,0 điểm): 5 bài về phân thức đại số, bài toán mua bút chì, hình chóp tứ giác đều, hình chữ nhật – hình bình hành và bài toán doanh thu cho thuê căn hộ.

13 câu
Cuối kỳ
Trung bình
90 phút
Năm học 2025-2026
Học kỳ 1
Nguồn: THCS Ngô Sĩ Liên, Hà Nội

Chọn mẫu đề và điền tên trường của bạn trước khi in · Lưu thành PDF ngay trong hộp thoại In · Chép về là bạn có một bản riêng để sửa, đề gốc trong kho không đổi

Họ và tên: ....................................Lớp: ..................Số báo danh: ..............

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 ĐIỂM)

Ghi câu trả lời của phần trắc nghiệm vào giấy kiểm tra.

Câu 1. (0,25 điểm)

Phân thức nghịch đảo của phân thức \dfrac{x}{x-1} là phân thức

A.
\dfrac{-x}{x-1}
B.
\dfrac{x}{1-x}
C.
\dfrac{x-1}{x}
D.
\dfrac{1-x}{x}

Câu 2. (0,25 điểm)

Phân thức \dfrac{(2-x)^2}{x^2-4} với x\ne 2; x\ne -2, sau khi rút gọn có kết quả là:

A.
x+2
B.
x-2
C.
\dfrac{x-2}{x+2}
D.
\dfrac{-(x-2)}{x+2}

Câu 3. (0,25 điểm)

Phép tính \dfrac{4}{3x(x-y)}:\dfrac{4}{x-y} với x\ne 0; y\ne 0; x-y\ne 0 có kết quả là:

A.
\dfrac{1}{x}
B.
\dfrac{1}{3x}
C.
3x
D.
\dfrac{3}{x}

Câu 4. (0,25 điểm)

Một đoàn tàu chở khách đi một quãng đường 200km, trong đó có 80km đường qua thành phố và 120km đường qua vùng rừng núi. Biết tốc độ tàu khi chạy qua thành phố kém 40 km/h so với tốc độ tàu khi chạy qua vùng rừng núi. Gọi x (km/h) là tốc độ tàu chạy qua vùng rừng núi (x > 40). Khi đó, thời gian tàu chạy qua vùng thành phố là:

A.
\dfrac{200}{x} (giờ)
B.
\dfrac{80}{x} (giờ)
C.
\dfrac{120}{x-40} (giờ)
D.
\dfrac{80}{x-40} (giờ)

Câu 5. (0,25 điểm)

Điều kiện xác định của phân thức \dfrac{x^2-3x}{x^2-9} là:

A.
x^2-3x\ne 0
B.
x+3\ne 0
C.
x\ne 0; x\ne 3
D.
x^2-9\ne 0

Câu 6. (0,25 điểm)

Phát biểu nào là sai:

A.
Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
B.
Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
C.
Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.
D.
Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Câu 7. (0,25 điểm)

Người ta thiết kế chậu trồng cây cảnh bằng gỗ có dạng hình chóp tam giác đều không đáy như hình bên với độ dài cạnh đáy là x(cm), chiều cao là x + 2(cm), độ dài trung đoạn là y + 1 (cm) (x > 0 ; y > 0). Phân thức biểu thị diện tích gỗ cần để làm một chậu cây như vậy là :

A.
\dfrac{3x(y+1)}{2} (cm²)
B.
\dfrac{3x(x+2)}{2} (cm²)
C.
\dfrac{3y(x+2)}{2} (cm²)
D.
\dfrac{2x(y+1)}{3} (cm²)

Câu 8. (0,25 điểm)

Cho các hình vẽ, tam giác ABC ở hình nào không là tam giác vuông ? (Ở hình 3, S.ABCD là hình chóp tứ giác đều).

A.
Hình 1
B.
Hình 2
C.
Hình 3
D.
Hình 2 và hình 3

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 ĐIỂM)

Câu 1. (2 điểm)

Cho hai biểu thức A=\dfrac{x-1}{x} và B=\dfrac{2x-4}{x^2-1}-\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{x}{x-1} với x\ne \pm 1; x\ne 0

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1{,}5

b) Chứng tỏ rằng B=\dfrac{x}{x+1}

c) Tìm số nguyên x lớn nhất để biểu thức P = A.B nhận giá trị nguyên.

Câu 2. (2 điểm)

Hai bạn Minh và Phương cùng vào cửa hàng văn phòng phẩm để mua bút chì, Minh có 10 nghìn đồng, Phương có 25 nghìn đồng. Hai bạn dự định sẽ mua số bút chì vừa đủ với số tiền mình có. Biết bạn Minh chỉ mua bút chì loại I có giá x nghìn đồng một chiếc (x > 0), bạn Phương chỉ mua bút chì loại II có giá cao hơn giá bút chì loại I là 3 nghìn đồng.

a) Viết phân thức biểu thị số chiếc bút chì chì mà bạn Minh đã mua;

b) Viết phân thức biểu thị số chiếc bút chì mà bạn Phương đã mua;

c) Biết hôm đó, bạn Phương mua được nhiều bút chì hơn bạn Minh. Viết phân thức biểu thị số bút chì mà bạn Phương mua được nhiều hơn;

d) Giá bút chì loại I là bao nhiêu thì số chiếc bút chì hai bạn mua được bằng nhau?

Câu 3. (1 điểm)

Một khối bê tông có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD như hình vẽ. Biết trung đoạn SE = 0,5m; HE = 0,4m; BC = 0,8m và SH vuông góc HE.

a) Tính chiều cao SH của khối bê tông;

b) Để đúc khối bê tông, cứ 1m³ bê tông người ta dùng dùng 185 lít nước. Hỏi cần bao nhiêu nước để đúc khối bê tông trên?

Câu 4. (2,5 điểm)

Vẽ hình chữ nhật ABCD (AB > BC). Vẽ đường thẳng xy đi qua B và song song với AC, đường thẳng xy cắt đường thẳng AD tại E.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACBE là hình bình hành;

b) Chứng minh rằng ∆EBD cân tại B;

c) Kẻ AP vuông góc với EB tại P và kẻ BQ vuông góc với AC tại Q. Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm P, O, Q thẳng hàng;

d) Vẽ đường thẳng DH vuông góc với AC tại H; đường thẳng DH cắt AB và EB lần lượt tại F và K. Đường thẳng CK cắt AB tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của FB.

Câu 5. (0,5 điểm)

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 6 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng: cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu triệu đồng để doanh thu là lớn nhất?

— HẾT —

Đáp án và lời giải chi tiết

ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM

⚠ BẢN ĐÁP ÁN — đề trong kho CenStu, phát kèm đáp án

Đáp án trắc nghiệm

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 ĐIỂM)

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8
Đáp án	C	C	B	D	D	D	A	B
Điểm	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25

Hướng dẫn chấm tự luận

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 ĐIỂM)

Câu 1. (2 điểm)

Cho hai biểu thức A=\dfrac{x-1}{x} và B=\dfrac{2x-4}{x^2-1}-\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{x}{x-1} với x\ne \pm 1; x\ne 0

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1{,}5

b) Chứng tỏ rằng B=\dfrac{x}{x+1}

c) Tìm số nguyên x lớn nhất để biểu thức P = A.B nhận giá trị nguyên.

a) x=1{,}5 thỏa mãn điều kiện. A=\dfrac{1{,}5-1}{1{,}5}=\dfrac{0{,}5}{1{,}5}=\dfrac13.

b) Quy đồng với mẫu chung (x-1)(x+1): B=\dfrac{2x-4-4(x-1)+x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x^2-x}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x}{x+1}.

c) P=A\cdot B=\dfrac{x-1}{x}\cdot\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x-1}{x+1}=1-\dfrac{2}{x+1}. P nguyên khi x+1 là ước của 2, tức x+1\in\{\pm1;\pm2\}, suy ra x\in\{0;-2;1;-3\}. Kết hợp điều kiện x\ne0, x\ne\pm1 còn x\in\{-2;-3\}. Số nguyên lớn nhất là x=-2 (khi đó P=3).

Câu 2. (2 điểm)

a) Viết phân thức biểu thị số chiếc bút chì chì mà bạn Minh đã mua;

b) Viết phân thức biểu thị số chiếc bút chì mà bạn Phương đã mua;

c) Biết hôm đó, bạn Phương mua được nhiều bút chì hơn bạn Minh. Viết phân thức biểu thị số bút chì mà bạn Phương mua được nhiều hơn;

d) Giá bút chì loại I là bao nhiêu thì số chiếc bút chì hai bạn mua được bằng nhau?

a) Mỗi bút loại I giá x nghìn đồng, Minh có 10 nghìn đồng nên mua được \dfrac{10}{x} chiếc.

b) Bút loại II giá x+3 nghìn đồng, Phương có 25 nghìn đồng nên mua được \dfrac{25}{x+3} chiếc.

c) Số bút Phương mua nhiều hơn: \dfrac{25}{x+3}-\dfrac{10}{x}=\dfrac{25x-10(x+3)}{x(x+3)}=\dfrac{15x-30}{x(x+3)} (chiếc).

d) Số bút bằng nhau khi \dfrac{10}{x}=\dfrac{25}{x+3}, suy ra 10(x+3)=25x, 15x=30, x=2 (thỏa x>0). Vậy giá bút chì loại I là 2 nghìn đồng.

Câu 3. (1 điểm)

Một khối bê tông có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD như hình vẽ. Biết trung đoạn SE = 0,5m; HE = 0,4m; BC = 0,8m và SH vuông góc HE.

a) Tính chiều cao SH của khối bê tông;

b) Để đúc khối bê tông, cứ 1m³ bê tông người ta dùng dùng 185 lít nước. Hỏi cần bao nhiêu nước để đúc khối bê tông trên?

a) Tam giác SHE vuông tại H, theo định lí Pythagore: SH^2=SE^2-HE^2=0{,}5^2-0{,}4^2=0{,}09, nên SH=0{,}3 m.

b) Thể tích khối chóp: V=\dfrac13\cdot BC^2\cdot SH=\dfrac13\cdot0{,}8^2\cdot0{,}3=0{,}064 (m³). Lượng nước cần dùng: 185\cdot0{,}064=11{,}84 lít.

Câu 4. (2,5 điểm)

Vẽ hình chữ nhật ABCD (AB > BC). Vẽ đường thẳng xy đi qua B và song song với AC, đường thẳng xy cắt đường thẳng AD tại E.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACBE là hình bình hành;

b) Chứng minh rằng ∆EBD cân tại B;

c) Kẻ AP vuông góc với EB tại P và kẻ BQ vuông góc với AC tại Q. Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm P, O, Q thẳng hàng;

a) BE\parallel AC (vì xy\parallel AC) và AE\parallel BC (vì E thuộc đường thẳng AD, mà AD\parallel BC). Tứ giác ACBE có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

b) ACBE là hình bình hành nên BE=AC. ABCD là hình chữ nhật nên AC=BD. Suy ra BE=BD, tức \triangle EBD cân tại B.

c) AP\perp EB, BQ\perp AC và EB\parallel AC nên AP\parallel BQ. Hai tam giác vuông APB và BQA có chung cạnh huyền AB và \widehat{PBA}=\widehat{QAB} (so le trong, EB\parallel AC) nên bằng nhau, suy ra AP=BQ. Tứ giác APBQ có AP\parallel BQ, AP=BQ nên là hình bình hành; hai đường chéo AB và PQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Vậy trung điểm O của AB nằm trên PQ, ba điểm P, O, Q thẳng hàng.

d) Từ câu b, AE=BC=AD nên A là trung điểm ED. Trong \triangle DEK, AC đi qua trung điểm A của ED và song song với EK nên đi qua trung điểm của DK; lại có AC\perp DK nên AC là đường trung trực của DK. Suy ra CK=CD và \widehat{CKD}=\widehat{CDK}.

Tam giác ACD vuông tại D có đường cao DH nên \widehat{CDH}=\widehat{CAD} (cùng phụ \widehat{ACD}). Vì DK\perp AC và AC\parallel EB nên DK\perp EB, do đó \widehat{MKB}=90^\circ-\widehat{CKD}=90^\circ-\widehat{CAD}=\widehat{BAC}=\widehat{ABE}=\widehat{MBK} (so le trong). Vậy \triangle MKB cân tại M: MK=MB.

Tam giác FKB vuông tại K: \widehat{MFK}=90^\circ-\widehat{MBK}=90^\circ-\widehat{MKB}=\widehat{MKF} nên MF=MK. Do đó MF=MB, M là trung điểm của FB.

Câu 5. (0,5 điểm)

Gọi n là số lần tăng giá thêm 100 nghìn đồng (n nguyên, 0\le n\le100). Khi đó giá thuê là 6+0{,}1n (triệu đồng) và số căn hộ có người thuê là 100-n. Doanh thu mỗi tháng: R=(6+0{,}1n)(100-n)=-0{,}1n^2+4n+600=-0{,}1(n-20)^2+640\le 640 (triệu đồng). Doanh thu lớn nhất khi n=20, tức giá thuê 6+0{,}1\cdot20=8 triệu đồng mỗi căn hộ.

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 ĐIỂM)

Câu 1 — Đáp án: C

Phân thức nghịch đảo của \dfrac{A}{B} là \dfrac{B}{A}, nên nghịch đảo của \dfrac{x}{x-1} là \dfrac{x-1}{x}. Chọn C.

Câu 2 — Đáp án: C

Ta có (2-x)^2=(x-2)^2 và x^2-4=(x-2)(x+2). Chia tử và mẫu cho x-2: \dfrac{(2-x)^2}{x^2-4}=\dfrac{x-2}{x+2}. Chọn C.

Câu 3 — Đáp án: B

Chia cho một phân thức là nhân với nghịch đảo: \dfrac{4}{3x(x-y)}\cdot\dfrac{x-y}{4}=\dfrac{1}{3x}. Chọn B.

Câu 4 — Đáp án: D

Tốc độ qua thành phố là x-40 (km/h), quãng đường qua thành phố dài 80 km nên thời gian là \dfrac{80}{x-40} giờ. Chọn D.

Câu 5 — Đáp án: D

Phân thức xác định khi mẫu khác 0, tức x^2-9\ne 0. Chọn D.

Câu 6 — Đáp án: D

A, B, C đều là tính chất hoặc dấu hiệu đúng. D sai: chỉ hình thang cân mới có hai góc kề một đáy bằng nhau, không phải mọi hình thang. Chọn D.

Câu 7 — Đáp án: A

Chậu không có đáy nên diện tích gỗ bằng diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều: S=3\cdot\dfrac12\cdot x\cdot(y+1)=\dfrac{3x(y+1)}{2} (cm²). Chiều cao x+2 không dùng tới. Chọn A.

Câu 8 — Đáp án: B

Hình 1: E là trung điểm BC và AE=BE=EC, đường trung tuyến bằng nửa cạnh BC nên tam giác vuông tại A. Hình 3: đáy ABCD là hình vuông nên \widehat{ABC}=90^\circ. Hình 2: 3^2+6^2=45\ne 49=7^2 nên tam giác không vuông. Chọn B.

Đề của THCS Ngô Sĩ Liên, Hà Nội, đáp án đã đối chiếu với đáp án của đơn vị ra đề. Lời giải do đội ngũ CenStu biên soạn. Bạn dùng lại được cho lớp của mình — in ra giấy, hoặc soạn một đề riêng bằng công cụ miễn phí .