CenStu Soạn đề của bạn

Đề thi cuối kì 1 Toán 9 phường Ba Đình 2025-2026 có đáp án

Đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm học 2025–2026 của UBND phường Ba Đình, Hà Nội, có đáp án và lời giải. Thời gian làm bài 90 phút, 5 bài tự luận: phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, biểu thức chứa căn, giải bài toán bằng cách lập phương trình, tiếp tuyến của đường tròn (treo gương) và bài toán diện tích nhỏ nhất.

  • 5 câu
  • Cuối kỳ
  • Trung bình
  • 90 phút
  • Năm học 2025-2026
  • Học kỳ 1
  • Nguồn: Phòng Văn hóa - Xã hội phường Ba Đình, Hà Nội

Chọn mẫu đề và điền tên trường của bạn trước khi in · Lưu thành PDF ngay trong hộp thoại In · Chép về là bạn có một bản riêng để sửa, đề gốc trong kho không đổi

Họ và tên: ....................................Lớp: ..................Số báo danh: ..............
Câu 1. (2 điểm)

1) Giải phương trình và bất phương trình sau:

a) x^2-3x+(x-3)=0; \qquad\qquad b) x(x-2)\le x^2-5.

2) Giải hệ phương trình \begin{cases}x-2y=5\\x+2(y+1)=3\end{cases}.

3) Tính giá trị biểu thức sau: M=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}-\sqrt{8}+\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}-3.

Câu 2. (2 điểm)

Cho hai biểu thức A=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3} và B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{4\sqrt{x}+4}{x+2\sqrt{x}} với x>0; x\ne 9.

1) Tính giá trị của biểu thức A với x=25.

2) Chứng minh B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}.

3) Cho P=A:B. Tìm số nguyên x nhỏ nhất để 2P>1.

Câu 3. (1,5 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ phương trình

Trong một xưởng có hai chiếc máy sản xuất cốc giấy. Mỗi giờ máy thứ nhất làm được nhiều hơn máy thứ hai 100 chiếc cốc giấy. Nếu máy thứ nhất làm trong 3 giờ và máy thứ hai làm trong 4 giờ thì cả hai máy làm được 1700 cốc giấy. Hỏi mỗi giờ mỗi máy làm được bao nhiêu chiếc cốc giấy?

Câu 4. (4 điểm)

1) Một người thợ muốn treo một chiếc gương có dạng hình tròn (hình a) vào một đinh móc tại điểm M bằng hai đoạn dây bằng nhau MA, MB không dãn để gương được cân bằng (không tính các nút thắt buộc tại 2 đầu A và B). Mỗi đoạn dây lần lượt tiếp xúc với viền gỗ của gương tại điểm A và B (hình b). Biết bán kính của chiếc gương là OA=25 cm và góc giữa đoạn dây MA với phương thẳng đứng là \widehat{AMO}=30^\circ. Hỏi chiều dài mỗi đoạn dây MA, MB bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

2) Cho đường tròn (O;R) và một điểm M cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm).

a) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi giao điểm của MO và AB là H. Chứng minh MO\perp AB và OH.OM=R^2.

c) Một đường thẳng d thay đổi đi qua M nhưng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm N và P (N nằm giữa M và P). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N và P cắt nhau tại F. Gọi K là trung điểm của NP. Chứng minh \Delta KOM đồng dạng với \Delta HOF.

Câu 5. (0,5 điểm)

Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ hình chữ nhật (như hình vẽ). Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12m.

— HẾT —
Đáp án và lời giải chi tiết

ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM

⚠ BẢN ĐÁP ÁN — đề trong kho CenStu, phát kèm đáp án

Hướng dẫn chấm tự luận

Câu 1. (2 điểm)

1) Giải phương trình và bất phương trình sau:

a) x^2-3x+(x-3)=0; \qquad\qquad b) x(x-2)\le x^2-5.

2) Giải hệ phương trình \begin{cases}x-2y=5\\x+2(y+1)=3\end{cases}.

3) Tính giá trị biểu thức sau: M=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}-\sqrt{8}+\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}-3.

1a) Nhóm nhân tử: x^2-3x+(x-3)=x(x-3)+(x-3)=(x-3)(x+1)=0, suy ra x=3 hoặc x=-1. Phương trình có hai nghiệm x=-1; x=3.

1b) Khai triển: x^2-2x\le x^2-5\iff -2x\le -5\iff x\ge\dfrac52. Nghiệm của bất phương trình là x\ge\dfrac52.

2) Phương trình thứ hai viết lại thành x+2y=1. Cộng từng vế với x-2y=5 được 2x=6, x=3; thay vào phương trình đầu: 3-2y=5, y=-1. Hệ có nghiệm (x;y)=(3;-1).

3) \dfrac{1}{\sqrt2-1}=\sqrt2+1, \sqrt8=2\sqrt2, và vì 2>\sqrt2 nên \sqrt{(2-\sqrt2)^2}=|2-\sqrt2|=2-\sqrt2. Do đó M=\sqrt2+1-2\sqrt2+2-\sqrt2-3=-2\sqrt2.

Câu 2. (2 điểm)

Cho hai biểu thức A=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3} và B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{4\sqrt{x}+4}{x+2\sqrt{x}} với x>0; x\ne 9.

1) Tính giá trị của biểu thức A với x=25.

2) Chứng minh B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}.

3) Cho P=A:B. Tìm số nguyên x nhỏ nhất để 2P>1.

1) x=25 thỏa mãn điều kiện, \sqrt{x}=5 nên A=\dfrac{5+2}{5-3}=\dfrac72.

2) Với x>0: x+2\sqrt x=\sqrt x(\sqrt x+2). Quy đồng: B=\dfrac{x+4\sqrt x+4}{\sqrt x(\sqrt x+2)}=\dfrac{(\sqrt x+2)^2}{\sqrt x(\sqrt x+2)}=\dfrac{\sqrt x+2}{\sqrt x}.

3) P=A:B=\dfrac{\sqrt x+2}{\sqrt x-3}\cdot\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x+2}=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x-3}. 2P>1\iff\dfrac{2\sqrt x-(\sqrt x-3)}{\sqrt x-3}>0\iff\dfrac{\sqrt x+3}{\sqrt x-3}>0. Tử số luôn dương nên điều kiện là \sqrt x>3, tức x>9. Kết hợp điều kiện, số nguyên x nhỏ nhất là x=10.

Câu 3. (1,5 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ phương trình

Trong một xưởng có hai chiếc máy sản xuất cốc giấy. Mỗi giờ máy thứ nhất làm được nhiều hơn máy thứ hai 100 chiếc cốc giấy. Nếu máy thứ nhất làm trong 3 giờ và máy thứ hai làm trong 4 giờ thì cả hai máy làm được 1700 cốc giấy. Hỏi mỗi giờ mỗi máy làm được bao nhiêu chiếc cốc giấy?

Gọi số cốc giấy mỗi giờ máy thứ nhất, máy thứ hai làm được lần lượt là x, y (chiếc; x,y\in\mathbb N^*, x>100). Máy thứ nhất làm nhiều hơn máy thứ hai 100 chiếc mỗi giờ: x-y=100. Máy thứ nhất làm 3 giờ và máy thứ hai làm 4 giờ được 1700 cốc: 3x+4y=1700.

Thế x=y+100 vào phương trình sau: 3(y+100)+4y=1700, 7y=1400, y=200, suy ra x=300 (thỏa mãn). Vậy mỗi giờ máy thứ nhất làm được 300 chiếc cốc, máy thứ hai làm được 200 chiếc cốc.

Câu 4. (4 điểm)

1) Một người thợ muốn treo một chiếc gương có dạng hình tròn (hình a) vào một đinh móc tại điểm M bằng hai đoạn dây bằng nhau MA, MB không dãn để gương được cân bằng (không tính các nút thắt buộc tại 2 đầu A và B). Mỗi đoạn dây lần lượt tiếp xúc với viền gỗ của gương tại điểm A và B (hình b). Biết bán kính của chiếc gương là OA=25 cm và góc giữa đoạn dây MA với phương thẳng đứng là \widehat{AMO}=30^\circ. Hỏi chiều dài mỗi đoạn dây MA, MB bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

2) Cho đường tròn (O;R) và một điểm M cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm).

a) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi giao điểm của MO và AB là H. Chứng minh MO\perp AB và OH.OM=R^2.

c) Một đường thẳng d thay đổi đi qua M nhưng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm N và P (N nằm giữa M và P). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N và P cắt nhau tại F. Gọi K là trung điểm của NP. Chứng minh \Delta KOM đồng dạng với \Delta HOF.

1) MA tiếp xúc viền gương tại A nên OA\perp MA. Trong tam giác OAM vuông tại A: \tan\widehat{AMO}=\dfrac{OA}{MA}, nên MA=\dfrac{25}{\tan30^\circ}=25\sqrt3\approx43{,}3 (cm). Vậy mỗi đoạn dây MA, MB dài khoảng 43 cm.

2a) MA, MB là tiếp tuyến nên \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^\circ. Hai điểm A, B cùng nhìn đoạn MO dưới góc vuông nên M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

2b) MA=MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA=OB=R nên MO là đường trung trực của AB, suy ra MO\perp AB tại H. Tam giác OAM vuông tại A có đường cao AH nên OH\cdot OM=OA^2=R^2.

2c) K là trung điểm dây NP không đi qua O nên OK\perp NP. Lại có FN=FP (hai tiếp tuyến cắt nhau) và ON=OP nên OF là trung trực của NP, do đó K nằm trên OF. Tam giác ONF vuông tại N có đường cao NK nên OK\cdot OF=ON^2=R^2. Kết hợp câu b): OK\cdot OF=OH\cdot OM, tức \dfrac{OK}{OM}=\dfrac{OH}{OF}. Vì H nằm trên đoạn OM và K nằm trên đoạn OF nên \widehat{KOM}=\widehat{HOF}=\widehat{MOF}. Hai tam giác KOM và HOF có \widehat{KOM}=\widehat{HOF} và \dfrac{OK}{OM}=\dfrac{OH}{OF} nên \Delta KOM đồng dạng với \Delta HOF (c.g.c).

Câu 5. (0,5 điểm)

Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ hình chữ nhật (như hình vẽ). Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12m.

Đặt góc hồ làm gốc toạ độ, bờ ngang và bờ dọc là hai trục; cọc ở điểm A(12;5). Lưới cắt bờ ngang tại (a;0) và bờ dọc tại (0;b) (a>12, b>5), đi qua A nên \dfrac{12}{a}+\dfrac5b=1.

Theo bất đẳng thức Cô-si: 1=\dfrac{12}{a}+\dfrac5b\ge2\sqrt{\dfrac{60}{ab}}, suy ra ab\ge240. Diện tích phần giăng lưới là S=\dfrac{ab}{2}\ge120. Dấu bằng xảy ra khi \dfrac{12}{a}=\dfrac5b=\dfrac12, tức a=24, b=10. Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là 120 m2.

Đề của Phòng Văn hóa - Xã hội phường Ba Đình, Hà Nội, đáp án đã đối chiếu với đáp án của đơn vị ra đề. Lời giải do đội ngũ CenStu biên soạn. Bạn dùng lại được cho lớp của mình — in ra giấy, hoặc soạn một đề riêng bằng công cụ miễn phí .