Bài 4. (3,5 điểm)
1) Hải đăng Kê Gà thuộc xã Tân Thành, Lâm Đồng là ngọn hải đăng được trung tâm sách kỷ luật Việt Nam xác nhận là ngọn hải đăng cao nhất và nhiều tuổi nhất. Hải đăng Kê Gà được xây dựng từ năm 1897-1899 và toàn bộ bằng đá. Tháp đèn có hình bát giác, cao 66m so với mực nước biển. Ngọn đèn đặt trong tháp có thể phát sáng xa 22 hải lý (tương đương 40km).
Một người đi thuyền thúng trên biển, muốn đến ngọn hải đăng có độ cao 66m, người đó đứng trên mũi thuyền và dùng giác kế đo được góc giữa thuyền và tia nắng chiếu từ đỉnh ngọn hải đăng đến thuyền là 36^\circ. Tính khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng (làm tròn đến hàng phần trăm).
2) Cho đường tròn (O; R) và điểm D nằm ngoài đường tròn. Qua D kẻ đường thẳng a vuông góc với OD tại D. Lấy điểm A bất kì trên đường thẳng a. Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AE với đường tròn (O) (E là tiếp điểm).
a) Chứng minh bốn điểm D, A, E, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Trên đường tròn (O) lấy điểm F sao cho OA là tia phân giác của \widehat{EOF}. Dây EF cắt OD, OA lần lượt tại K, H. Chứng minh rằng AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) và OK.OD = OH.OA.
c) Kẻ đường kính EB của đường tròn (O). Kẻ FC ⊥ EB tại C, AB cắt FC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của FC.
1) Gọi chân hải đăng là H, đỉnh là T, thuyền là B: tam giác THB vuông tại H, TH=66 m, \widehat{TBH}=36^\circ. \tan 36^\circ=\dfrac{TH}{HB}\Rightarrow HB=\dfrac{66}{\tan36^\circ}\approx 90{,}84 m.
2a) AD\perp OD nên \widehat{ODA}=90^\circ; AE là tiếp tuyến nên \widehat{OEA}=90^\circ. Do đó D, E cùng thuộc đường tròn đường kính OA: bốn điểm D,A,E,O cùng thuộc một đường tròn.
2b) \triangle OEA và \triangle OFA có OE=OF=R, \widehat{EOA}=\widehat{FOA} (OA là phân giác), OA chung nên bằng nhau (c.g.c) \Rightarrow \widehat{OFA}=\widehat{OEA}=90^\circ, do đó AF\perp OF tại F: AF là tiếp tuyến của (O). Vì OE=OF, AE=AF nên OA là trung trực của EF, suy ra OA\perp EF tại H. Xét \triangle OHK và \triangle ODA: \widehat{OHK}=\widehat{ODA}=90^\circ, \widehat{O} chung \Rightarrow \triangle OHK\backsim\triangle ODA (g.g) \Rightarrow \dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OK}{OA}\Rightarrow OK\cdot OD=OH\cdot OA.
2c) EB là đường kính nên \widehat{EFB}=90^\circ, tức BF\perp EF; cùng với OA\perp EF suy ra BF\parallel OA, do đó \widehat{FBC}=\widehat{AOE} (đồng vị). Xét \triangle BCF và \triangle OEA: \widehat{BCF}=\widehat{OEA}=90^\circ, \widehat{FBC}=\widehat{AOE} \Rightarrow \triangle BCF\backsim\triangle OEA \Rightarrow \dfrac{FC}{AE}=\dfrac{BC}{OE}=\dfrac{2BC}{BE} (vì BE=2OE). Mặt khác FC\perp EB, AE\perp EB nên IC\parallel AE; trong \triangle BEA, theo định lí Ta-lét \dfrac{IC}{AE}=\dfrac{BC}{BE}. Suy ra FC=2IC, mà I nằm trên đoạn FC, nên I là trung điểm của FC.
