a) Đặt nhân tử chung 4x: 12xy-4x^2=4x(3y-x).

b) Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối: x^3+5x^2-9x-45=x^2(x+5)-9(x+5)=(x+5)(x^2-9)=(x+5)(x-3)(x+3).

c) Ba hạng tử đầu là bình phương một hiệu: x^2-6x+9-y^2=(x-3)^2-y^2=(x-3-y)(x-3+y).

a) 18x^2-6x=0\Leftrightarrow 6x(3x-1)=0, nên x=0 hoặc x=\dfrac13.

b) Khai triển: x^2+4x+4-x^2-6x=10\Leftrightarrow -2x+4=10\Leftrightarrow x=-3.

c) x^2(x-1)-9(x-1)=0\Leftrightarrow (x-1)(x-3)(x+3)=0, nên x\in\{-3;\,1;\,3\}.

d) x^2+4x+x^2=16\Leftrightarrow 2x^2+4x-16=0\Leftrightarrow x^2+2x-8=0\Leftrightarrow (x-2)(x+4)=0, nên x=2 hoặc x=-4.

Trong tam giác OAB, M là trung điểm OA và N là trung điểm OB, nên MN là đường trung bình của tam giác, suy ra MN=\dfrac12 AB.

Vậy AB=2MN=2\cdot 450=900 (m).

a) Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AM đồng thời là đường trung tuyến, M là trung điểm BC. Tứ giác AMCN có hai đường chéo AC và MN cắt nhau tại I là trung điểm của mỗi đường (IA=IC, IM=IN) nên là hình bình hành; lại có \widehat{AMC}=90^\circ nên AMCN là hình chữ nhật.

b) Từ a) suy ra AN\parallel MC và AN=MC; mà MC=MB và B, M, C thẳng hàng nên AN\parallel MB, AN=MB. Vậy ANMB là hình bình hành, hai đường chéo AM, BN cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Trong tam giác ABM: O, J là trung điểm AM, AB nên OJ\parallel BM. Trong tam giác AMC: O, I là trung điểm AM, AC nên OI\parallel MC. Hai đường OJ, OI cùng đi qua O và cùng song song với BC nên trùng nhau (tiên đề Euclid), tức I, J, O thẳng hàng.

c) Tam giác MHN vuông tại H có HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền MN, nên HI=\dfrac12 MN. Vì AMCN là hình chữ nhật nên MN=AC, do đó HI=\dfrac12 AC. Tam giác AHC có trung tuyến HI bằng nửa cạnh AC nên vuông tại H. Vậy AH\perp HC.

Theo hình, đặt AB=x (m), BC=AD=y (m), x,y>0. Bác rào ba mặt AB, AD, BC (mặt CD giáp sông) nên x+2y=240, suy ra x=240-2y với 0<y<120.

Diện tích S=xy=(240-2y)y=-2y^2+240y=7200-2(y-60)^2\le 7200. Dấu bằng khi y=60, khi đó x=120.

Vậy bác rào khu đất có AB=120 m, BC=AD=60 m; diện tích lớn nhất là 7200 m².